Решить x+y=14;x-y=4

$$x + y = 14 ; x - y = 4$$

Найдите x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+y=14,x-y=4$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$x+y=14$$

Вычтите y из обеих частей уравнения.

$$x=-y+14$$

Подставьте -y+14 вместо x в другом уравнении x-y=4.

$$-y+14-y=4$$

Прибавьте -y к -y.

$$-2y+14=4$$

Вычтите 14 из обеих частей уравнения.

$$-2y=-10$$

Разделите обе части на -2.

$$y=5$$

Подставьте 5 вместо y в x=-y+14. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-5+14$$

Прибавьте 14 к -5.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=5$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+y=14,x-y=4$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 14+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 14-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=9,y=5$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+y=14,x-y=4$$

Вычтите x-y=4 из x+y=14 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-x+y+y=14-4$$

Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$y+y=14-4$$

Прибавьте y к y.

$$2y=14-4$$

Прибавьте 14 к -4.

$$2y=10$$

Разделите обе части на 2.

$$y=5$$

Подставьте 5 вместо y в x-y=4. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-5=4$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$x=9$$

Система решена.

$$x=9,y=5$$