Решить x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Найдите x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+3y=6$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$x=-3y+6$$

Подставьте -3y+6 вместо x в другом уравнении 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Умножьте 5 на -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Прибавьте -15y к -2y.

$$-17y+30=13$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$-17y=-17$$

Разделите обе части на -17.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в x=-3y+6. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-3+6$$

Прибавьте 6 к -3.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=3,y=1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Чтобы сделать x и 5x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 5 и все члены в обеих частях второго уравнения на 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Упростите.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Вычтите 5x-2y=13 из 5x+15y=30 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Прибавьте 5x к -5x. Члены 5x и -5x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$15y+2y=30-13$$

Прибавьте 15y к 2y.

$$17y=30-13$$

Прибавьте 30 к -13.

$$17y=17$$

Разделите обе части на 17.

$$y=1$$

Подставьте 1 вместо y в 5x-2y=13. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$5x-2=13$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$5x=15$$

Разделите обе части на 5.

$$x=3$$

Система решена.

$$x=3,y=1$$