Решить x+sqrt{4x+1}=5

$$x + \sqrt { 4 x + 1 } = 5$$

Найдите x

$$x=2$$

Действия по решению

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{4x+1}=5-x$$

Возведите обе части уравнения в квадрат.

$$\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}=\left(5-x\right)^{2}$$

Вычислите \sqrt{4x+1} в степени 2 и получите 4x+1.

$$4x+1=\left(5-x\right)^{2}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(5-x\right)^{2}.

$$4x+1=25-10x+x^{2}$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$4x+1-25=-10x+x^{2}$$

Вычтите 25 из 1, чтобы получить -24.

$$4x-24=-10x+x^{2}$$

Прибавьте 10x к обеим частям.

$$4x-24+10x=x^{2}$$

Объедините 4x и 10x, чтобы получить 14x.

$$14x-24=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=12 b=2$$

Перепишите -x^{2}+14x-24 как \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Разложите -x в первом и 2 в второй группе.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и -x+2=0у.

$$x=12 x=2$$

Подставьте 12 вместо x в уравнении x+\sqrt{4x+1}=5.

$$12+\sqrt{4\times 12+1}=5$$

Упростите. Значение x=12 не соответствует уравнению.

$$19=5$$

Подставьте 2 вместо x в уравнении x+\sqrt{4x+1}=5.

$$2+\sqrt{4\times 2+1}=5$$

Упростите. Значение x=2 удовлетворяет уравнению.

$$5=5$$

Уравнение \sqrt{4x+1}=5-x имеет уникальное решение.

$$x=2$$