Решить x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить 3 на 3x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Объедините 6x и 9x, чтобы получить 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить -2 на x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Объедините 15x и -2x, чтобы получить 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Чтобы вычислить 7, сложите 3 и 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Прибавьте 12 к обеим частям.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Чтобы вычислить 19, сложите 7 и 12.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -6x^{2}+ax+bx+19. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -114 продукта.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 13.

$$a=19 b=-6$$

Перепишите -6x^{2}+13x+19 как \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Вынесите за скобки -x в первой и -1 во второй группе.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Вынесите за скобки общий член 6x-19, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 6x-19=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить 3 на 3x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Объедините 6x и 9x, чтобы получить 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить -2 на x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Объедините 15x и -2x, чтобы получить 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Чтобы вычислить 7, сложите 3 и 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Прибавьте 12 к обеим частям.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Чтобы вычислить 19, сложите 7 и 12.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -6 вместо a, 13 вместо b и 19 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте -4 на -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте 24 на 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Прибавьте 169 к 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Умножьте 2 на -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±25}{-12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Разделите 12 на -12.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{-13±25}{-12} при условии, что ± — минус. Вычтите 25 из -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Привести дробь \frac{-38}{-12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Умножьте обе стороны уравнения на 6, наименьшее общее кратное чисел 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить 3 на 3x+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Объедините 6x и 9x, чтобы получить 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Чтобы умножить -2 на x-2, используйте свойство дистрибутивности.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Объедините 15x и -2x, чтобы получить 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Чтобы вычислить 7, сложите 3 и 4.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Вычтите 6x^{2} из обеих частей уравнения.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Вычтите 7 из -12, чтобы получить -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Разделите обе части на -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Деление на -6 аннулирует операцию умножения на -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Разделите 13 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Разделите -19 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Разделите -\frac{13}{6}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{13}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{12} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Прибавьте \frac{19}{6} к \frac{169}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Разложите x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Прибавьте \frac{13}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$