Решить w^2-13w+42=0

$$w ^ { 2 } - 13 w + 42 = 0$$

Найдите w

$$w=6$$

$$w=7$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор w^{2}-13w+42 с помощью формулы w^{2}+\left(a+b\right)w+ab=\left(w+a\right)\left(w+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=42$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-7 b=-6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(w+a\right)\left(w+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(w-7\right)\left(w-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите w-7=0 и w-6=0у.

$$w=7 w=6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: w^{2}+aw+bw+42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -13.

$$a=-7 b=-6$$

Перепишите w^{2}-13w+42 как \left(w^{2}-7w\right)+\left(-6w+42\right).

$$\left(w^{2}-7w\right)+\left(-6w+42\right)$$

Разложите w в первом и -6 в второй группе.

$$w\left(w-7\right)-6\left(w-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член w-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(w-7\right)\left(w-6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите w-7=0 и w-6=0у.

$$w=7 w=6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$w^{2}-13w+42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -13 вместо b и 42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Возведите -13 в квадрат.

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Умножьте -4 на 42.

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Прибавьте 169 к -168.

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$w=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Число, противоположное -13, равно 13.

$$w=\frac{13±1}{2}$$

Решите уравнение w=\frac{13±1}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 13 к 1.

$$w=\frac{14}{2}$$

Разделите 14 на 2.

$$w=7$$

Решите уравнение w=\frac{13±1}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 13.

$$w=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$w=6$$

Уравнение решено.

$$w=7 w=6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$w^{2}-13w+42=0$$

Вычтите 42 из обеих частей уравнения.

$$w^{2}-13w+42-42=-42$$

Если из 42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$w^{2}-13w=-42$$

Деление -13, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{13}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{13}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$w^{2}-13w+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{13}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$w^{2}-13w+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Прибавьте -42 к \frac{169}{4}.

$$w^{2}-13w+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Коэффициент w^{2}-13w+\frac{169}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(w-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$w-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} w-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{13}{2} к обеим частям уравнения.

$$w=7 w=6$$