Решить w^2-11w+30=0

$$w ^ { 2 } - 11 w + 30 = 0$$

Найдите w

$$w=5$$

$$w=6$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор w^{2}-11w+30 с помощью формулы w^{2}+\left(a+b\right)w+ab=\left(w+a\right)\left(w+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-6 b=-5$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(w+a\right)\left(w+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(w-6\right)\left(w-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите w-6=0 и w-5=0у.

$$w=6 w=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: w^{2}+aw+bw+30. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-6 b=-5$$

Перепишите w^{2}-11w+30 как \left(w^{2}-6w\right)+\left(-5w+30\right).

$$\left(w^{2}-6w\right)+\left(-5w+30\right)$$

Разложите w в первом и -5 в второй группе.

$$w\left(w-6\right)-5\left(w-6\right)$$

Вынесите за скобки общий член w-6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(w-6\right)\left(w-5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите w-6=0 и w-5=0у.

$$w=6 w=5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$w^{2}-11w+30=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -11 вместо b и 30 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

Умножьте -4 на 30.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Прибавьте 121 к -120.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$w=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$w=\frac{11±1}{2}$$

Решите уравнение w=\frac{11±1}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 1.

$$w=\frac{12}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$w=6$$

Решите уравнение w=\frac{11±1}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из 11.

$$w=\frac{10}{2}$$

Разделите 10 на 2.

$$w=5$$

Уравнение решено.

$$w=6 w=5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$w^{2}-11w+30=0$$

Вычтите 30 из обеих частей уравнения.

$$w^{2}-11w+30-30=-30$$

Если из 30 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$w^{2}-11w=-30$$

Деление -11, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$w^{2}-11w+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$w^{2}-11w+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Прибавьте -30 к \frac{121}{4}.

$$w^{2}-11w+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

Коэффициент w^{2}-11w+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(w-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(w-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Упростите.

$$w-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} w-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$w=6 w=5$$