Решить t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Найдите t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор t^{2}-24t-180 с помощью формулы t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -24.

$$a=-30 b=6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(t+a\right)\left(t+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-30=0 и t+6=0у.

$$t=30 t=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: t^{2}+at+bt-180. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -24.

$$a=-30 b=6$$

Перепишите t^{2}-24t-180 как \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Разложите t в первом и 6 в второй группе.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Вынесите за скобки общий член t-30, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-30=0 и t+6=0у.

$$t=30 t=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -24 вместо b и -180 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Прибавьте 576 к 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Число, противоположное -24, равно 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Решите уравнение t=\frac{24±36}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 24 к 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Разделите 60 на 2.

$$t=30$$

Решите уравнение t=\frac{24±36}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 36 из 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$t=-6$$

Уравнение решено.

$$t=30 t=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Прибавьте 180 к обеим частям уравнения.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Если из -180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Вычтите -180 из 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Деление -24, коэффициент x термина, 2 для получения -12. Затем добавьте квадрат -12 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Прибавьте 180 к 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Коэффициент t^{2}-24t+144. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Упростите.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$t=30 t=-6$$