Решить t^2+5t-24=0

$$t ^ { 2 } + 5 t - 24 = 0$$

Найдите t

$$t=-8$$

$$t=3$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор t^{2}+5t-24 с помощью формулы t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=-24$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-3 b=8$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(t+a\right)\left(t+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-3=0 и t+8=0у.

$$t=3 t=-8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: t^{2}+at+bt-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-3 b=8$$

Перепишите t^{2}+5t-24 как \left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(t^{2}-3t\right)+\left(8t-24\right)$$

Разложите t в первом и 8 в второй группе.

$$t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член t-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(t-3\right)\left(t+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-3=0 и t+8=0у.

$$t=3 t=-8$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 5 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -24.

$$t=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2}$$

Прибавьте 25 к 96.

$$t=\frac{-5±\sqrt{121}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$t=\frac{-5±11}{2}$$

Решите уравнение t=\frac{-5±11}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 11.

$$t=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$t=3$$

Решите уравнение t=\frac{-5±11}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -5.

$$t=-\frac{16}{2}$$

Разделите -16 на 2.

$$t=-8$$

Уравнение решено.

$$t=3 t=-8$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$t^{2}+5t-24=0$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$t^{2}+5t-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$t^{2}+5t=-\left(-24\right)$$

Вычтите -24 из 0.

$$t^{2}+5t=24$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}+5t+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 24 к \frac{25}{4}.

$$t^{2}+5t+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Коэффициент t^{2}+5t+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Упростите.

$$t+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} t+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$t=3 t=-8$$