Решить r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Найдите r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -22 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Возведите -22 в квадрат.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Прибавьте 484 к 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Число, противоположное -22, равно 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Решите уравнение r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 22 к 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Разделите 22+16\sqrt{2} на 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Решите уравнение r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 16\sqrt{2} из 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Разделите 22-16\sqrt{2} на 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Уравнение решено.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Деление -22, коэффициент x термина, 2 для получения -11. Затем добавьте квадрат -11 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Прибавьте 7 к 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Коэффициент r^{2}-22r+121. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Упростите.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Прибавьте 11 к обеим частям уравнения.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$