Решить r^2+5r-36=0

$$r ^ { 2 } + 5 r - 36 = 0$$

Найдите r

$$r=-9$$

$$r=4$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор r^{2}+5r-36 с помощью формулы r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-4 b=9$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(r+a\right)\left(r+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(r-4\right)\left(r+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите r-4=0 и r+9=0у.

$$r=4 r=-9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: r^{2}+ar+br-36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=-4 b=9$$

Перепишите r^{2}+5r-36 как \left(r^{2}-4r\right)+\left(9r-36\right).

$$\left(r^{2}-4r\right)+\left(9r-36\right)$$

Разложите r в первом и 9 в второй группе.

$$r\left(r-4\right)+9\left(r-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член r-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(r-4\right)\left(r+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите r-4=0 и r+9=0у.

$$r=4 r=-9$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$r^{2}+5r-36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 5 вместо b и -36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-36\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -36.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2}$$

Прибавьте 25 к 144.

$$r=\frac{-5±\sqrt{169}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$r=\frac{-5±13}{2}$$

Решите уравнение r=\frac{-5±13}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 13.

$$r=\frac{8}{2}$$

Разделите 8 на 2.

$$r=4$$

Решите уравнение r=\frac{-5±13}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -5.

$$r=-\frac{18}{2}$$

Разделите -18 на 2.

$$r=-9$$

Уравнение решено.

$$r=4 r=-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$r^{2}+5r-36=0$$

Прибавьте 36 к обеим частям уравнения.

$$r^{2}+5r-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Если из -36 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$r^{2}+5r=-\left(-36\right)$$

Вычтите -36 из 0.

$$r^{2}+5r=36$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$r^{2}+5r+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$r^{2}+5r+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 36 к \frac{25}{4}.

$$r^{2}+5r+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент r^{2}+5r+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$r+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} r+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$r=4 r=-9$$