Решить p^3-7p-6

$$p ^ { 3 } - 7 p - 6$$

Разложить на множители

$$\left(p-3\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -6, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является 3. Разложите многочлен на множители, разделив его на p-3.

$$\left(p-3\right)\left(p^{2}+3p+2\right)$$

Учтите p^{2}+3p+2. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: p^{2}+ap+bp+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=1 b=2$$

Перепишите p^{2}+3p+2 как \left(p^{2}+p\right)+\left(2p+2\right).

$$\left(p^{2}+p\right)+\left(2p+2\right)$$

Разложите p в первом и 2 в второй группе.

$$p\left(p+1\right)+2\left(p+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член p+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(p+1\right)\left(p+2\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(p-3\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)$$

Вычислить

$$p^{3}-7p-6$$