Решить p^2-48p-49=0

$$p ^ { 2 } - 48 p - 49 = 0$$

Найдите p

$$p=-1$$

$$p=49$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор p^{2}-48p-49 с помощью формулы p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-48 ab=-49$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -49.

$$1,-49 7,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-49=-48 7-7=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -48.

$$a=-49 b=1$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(p+a\right)\left(p+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(p-49\right)\left(p+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите p-49=0 и p+1=0у.

$$p=49 p=-1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: p^{2}+ap+bp-49. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-48 ab=1\left(-49\right)=-49$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -49.

$$1,-49 7,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-49=-48 7-7=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -48.

$$a=-49 b=1$$

Перепишите p^{2}-48p-49 как \left(p^{2}-49p\right)+\left(p-49\right).

$$\left(p^{2}-49p\right)+\left(p-49\right)$$

Вынесите за скобки p в p^{2}-49p.

$$p\left(p-49\right)+p-49$$

Вынесите за скобки общий член p-49, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(p-49\right)\left(p+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите p-49=0 и p+1=0у.

$$p=49 p=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$p^{2}-48p-49=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -48 вместо b и -49 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\left(-49\right)}}{2}$$

Возведите -48 в квадрат.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\left(-49\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -49.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304+196}}{2}$$

Прибавьте 2304 к 196.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2500}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 2500.

$$p=\frac{-\left(-48\right)±50}{2}$$

Число, противоположное -48, равно 48.

$$p=\frac{48±50}{2}$$

Решите уравнение p=\frac{48±50}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 48 к 50.

$$p=\frac{98}{2}$$

Разделите 98 на 2.

$$p=49$$

Решите уравнение p=\frac{48±50}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 50 из 48.

$$p=-\frac{2}{2}$$

Разделите -2 на 2.

$$p=-1$$

Уравнение решено.

$$p=49 p=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-48p-49=0$$

Прибавьте 49 к обеим частям уравнения.

$$p^{2}-48p-49-\left(-49\right)=-\left(-49\right)$$

Если из -49 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$p^{2}-48p=-\left(-49\right)$$

Вычтите -49 из 0.

$$p^{2}-48p=49$$

Деление -48, коэффициент x термина, 2 для получения -24. Затем добавьте квадрат -24 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$p^{2}-48p+\left(-24\right)^{2}=49+\left(-24\right)^{2}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$p^{2}-48p+576=49+576$$

Прибавьте 49 к 576.

$$p^{2}-48p+576=625$$

Коэффициент p^{2}-48p+576. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-24\right)^{2}=625$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(p-24\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Упростите.

$$p-24=25 p-24=-25$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$p=49 p=-1$$