Решить n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Найдите n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор n^{2}-n-210 с помощью формулы n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-15 b=14$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(n+a\right)\left(n+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и n+14=0у.

$$n=15 n=-14$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-210. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-15 b=14$$

Перепишите n^{2}-n-210 как \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Разложите n в первом и 14 в второй группе.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и n+14=0у.

$$n=15 n=-14$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}-n-210=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -210 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Прибавьте 1 к 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{1±29}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$n=15$$

Решите уравнение n=\frac{1±29}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 29 из 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Разделите -28 на 2.

$$n=-14$$

Уравнение решено.

$$n=15 n=-14$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Прибавьте 210 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Если из -210 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Вычтите -210 из 0.

$$n^{2}-n=210$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 210 к \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Коэффициент n^{2}-n+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=15 n=-14$$