Решить n^2-n=272

$$n ^ { 2 } - n = 272$$

Найдите n

$$n=-16$$

$$n=17$$

Способ разложения на множители

Вычтите 272 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-272=0$$

Чтобы решить уравнение, фактор n^{2}-n-272 с помощью формулы n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=-272$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -272.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-17 b=16$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(n+a\right)\left(n+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-17=0 и n+16=0у.

$$n=17 n=-16$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 272 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-272=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-272. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=1\left(-272\right)=-272$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -272.

$$1,-272 2,-136 4,-68 8,-34 16,-17$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-272=-271 2-136=-134 4-68=-64 8-34=-26 16-17=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-17 b=16$$

Перепишите n^{2}-n-272 как \left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right).

$$\left(n^{2}-17n\right)+\left(16n-272\right)$$

Разложите n в первом и 16 в второй группе.

$$n\left(n-17\right)+16\left(n-17\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-17, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-17\right)\left(n+16\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-17=0 и n+16=0у.

$$n=17 n=-16$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}-n=272$$

Вычтите 272 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}-n-272=272-272$$

Если из 272 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-n-272=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -1 вместо b и -272 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-272\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -272.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+1088}}{2}$$

Прибавьте 1 к 1088.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1089}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 1089.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±33}{2}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$n=\frac{1±33}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{1±33}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 33.

$$n=\frac{34}{2}$$

Разделите 34 на 2.

$$n=17$$

Решите уравнение n=\frac{1±33}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 33 из 1.

$$n=-\frac{32}{2}$$

Разделите -32 на 2.

$$n=-16$$

Уравнение решено.

$$n=17 n=-16$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n=272$$

Деление -1, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=272+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=272+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 272 к \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{1089}{4}$$

Коэффициент n^{2}-n+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1089}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{33}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{33}{2}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=17 n=-16$$