Решить n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Решение для n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычислите 2009 в степени 2 и получите 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -4019 и c на 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Решение n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Для какого продукта ≤0, n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}, и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} должен быть ≥0, а другой — ≤0. Рассмотрите случай, когда n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Это неверно для любого n.

$$n\in \emptyset$$

Рассмотрите случай, когда n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 и n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$