Решить n^2-12n-84=-8

$$n ^ { 2 } - 12 n - 84 = - 8$$

Найдите n

$$n=4\sqrt{7}+6\approx 16,583005244$$

$$n=6-4\sqrt{7}\approx -4,583005244$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}-12n-84=-8$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}-12n-84-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-12n-84-\left(-8\right)=0$$

Вычтите -8 из -84.

$$n^{2}-12n-76=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -12 вместо b и -76 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-76\right)}}{2}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-76\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -76.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+304}}{2}$$

Прибавьте 144 к 304.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{448}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 448.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±8\sqrt{7}}{2}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 8\sqrt{7}.

$$n=\frac{8\sqrt{7}+12}{2}$$

Разделите 12+8\sqrt{7} на 2.

$$n=4\sqrt{7}+6$$

Решите уравнение n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{7} из 12.

$$n=\frac{12-8\sqrt{7}}{2}$$

Разделите 12-8\sqrt{7} на 2.

$$n=6-4\sqrt{7}$$

Уравнение решено.

$$n=4\sqrt{7}+6 n=6-4\sqrt{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-12n-84=-8$$

Прибавьте 84 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}-12n-84-\left(-84\right)=-8-\left(-84\right)$$

Если из -84 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-12n=-8-\left(-84\right)$$

Вычтите -84 из -8.

$$n^{2}-12n=76$$

Деление -12, коэффициент x термина, 2 для получения -6. Затем добавьте квадрат -6 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-12n+\left(-6\right)^{2}=76+\left(-6\right)^{2}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$n^{2}-12n+36=76+36$$

Прибавьте 76 к 36.

$$n^{2}-12n+36=112$$

Коэффициент n^{2}-12n+36. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-6\right)^{2}=112$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-6\right)^{2}}=\sqrt{112}$$

Упростите.

$$n-6=4\sqrt{7} n-6=-4\sqrt{7}$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$n=4\sqrt{7}+6 n=6-4\sqrt{7}$$