Решить n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Найдите n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Способ разложения на множители

Чтобы решить уравнение, фактор n^{2}-11n-60 с помощью формулы n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-15 b=4$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(n+a\right)\left(n+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и n+4=0у.

$$n=15 n=-4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-60. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -11.

$$a=-15 b=4$$

Перепишите n^{2}-11n-60 как \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Разложите n в первом и 4 в второй группе.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-15, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-15=0 и n+4=0у.

$$n=15 n=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, -11 вместо b и -60 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Возведите -11 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Прибавьте 121 к 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Число, противоположное -11, равно 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{11±19}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 11 к 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Разделите 30 на 2.

$$n=15$$

Решите уравнение n=\frac{11±19}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Разделите -8 на 2.

$$n=-4$$

Уравнение решено.

$$n=15 n=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Прибавьте 60 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Если из -60 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Вычтите -60 из 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Деление -11, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Прибавьте 60 к \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Коэффициент n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Упростите.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$n=15 n=-4$$