Решить n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Найдите n

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}+n-102=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 1 вместо b и -102 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Прибавьте 1 к 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{409} из -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Прибавьте 102 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Если из -102 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Вычтите -102 из 0.

$$n^{2}+n=102$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Прибавьте 102 к \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Коэффициент n^{2}+n+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Упростите.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$