Решить n^2+3n-12=6

$$n ^ { 2 } + 3 n - 12 = 6$$

Найдите n

$$n=-6$$

$$n=3$$

Способ разложения на множители

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}+3n-12-6=0$$

Вычтите 6 из -12, чтобы получить -18.

$$n^{2}+3n-18=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите n^{2}+3n-18 на множители по формуле n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=-18$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -18 продукта.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-3 b=6$$

Перезапишите разложенное на множители выражение \left(n+a\right)\left(n+b\right) с использованием полученных значений.

$$\left(n-3\right)\left(n+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-3=0 и n+6=0.

$$n=3 n=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}+3n-12-6=0$$

Вычтите 6 из -12, чтобы получить -18.

$$n^{2}+3n-18=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: n^{2}+an+bn-18. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=3 ab=1\left(-18\right)=-18$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -18 продукта.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-3 b=6$$

Перепишите n^{2}+3n-18 как \left(n^{2}-3n\right)+\left(6n-18\right).

$$\left(n^{2}-3n\right)+\left(6n-18\right)$$

Вынесите за скобки n в первой и 6 во второй группе.

$$n\left(n-3\right)+6\left(n-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член n-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(n-3\right)\left(n+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите n-3=0 и n+6=0.

$$n=3 n=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}+3n-12=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}+3n-12-6=6-6$$

Если из 6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}+3n-12-6=0$$

Вычтите 6 из -12.

$$n^{2}+3n-18=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 3 вместо b и -18 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-18\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -18.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+72}}{2}$$

Прибавьте 9 к 72.

$$n=\frac{-3±\sqrt{81}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$n=\frac{-3±9}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{-3±9}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к 9.

$$n=\frac{6}{2}$$

Разделите 6 на 2.

$$n=3$$

Решите уравнение n=\frac{-3±9}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -3.

$$n=-\frac{12}{2}$$

Разделите -12 на 2.

$$n=-6$$

Уравнение решено.

$$n=3 n=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+3n-12=6$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}+3n-12-\left(-12\right)=6-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}+3n=6-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 6.

$$n^{2}+3n=18$$

Разделите 3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}+3n+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=18+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=18+\frac{9}{4}$$

Прибавьте 18 к \frac{9}{4}.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=\frac{81}{4}$$

Разложите n^{2}+3n+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Упростите.

$$n+\frac{3}{2}=\frac{9}{2} n+\frac{3}{2}=-\frac{9}{2}$$

Вычтите \frac{3}{2} из обеих частей уравнения.

$$n=3 n=-6$$