Решить n^2+2n-1=6

$$n ^ { 2 } + 2 n - 1 = 6$$

Найдите n

$$n=2\sqrt{2}-1\approx 1,828427125$$

$$n=-2\sqrt{2}-1\approx -3,828427125$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$n^{2}+2n-1=6$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$n^{2}+2n-1-6=6-6$$

Если из 6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}+2n-1-6=0$$

Вычтите 6 из -1.

$$n^{2}+2n-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 1 вместо a, 2 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-7\right)}}{2}$$

Умножьте -4 на -7.

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+28}}{2}$$

Прибавьте 4 к 28.

$$n=\frac{-2±\sqrt{32}}{2}$$

Извлеките квадратный корень из 32.

$$n=\frac{-2±4\sqrt{2}}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{-2±4\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 4\sqrt{2}.

$$n=\frac{4\sqrt{2}-2}{2}$$

Разделите 4\sqrt{2}-2 на 2.

$$n=2\sqrt{2}-1$$

Решите уравнение n=\frac{-2±4\sqrt{2}}{2} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{2} из -2.

$$n=\frac{-4\sqrt{2}-2}{2}$$

Разделите -2-4\sqrt{2} на 2.

$$n=-2\sqrt{2}-1$$

Уравнение решено.

$$n=2\sqrt{2}-1 n=-2\sqrt{2}-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+2n-1=6$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$n^{2}+2n-1-\left(-1\right)=6-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$n^{2}+2n=6-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 6.

$$n^{2}+2n=7$$

Разделите 2, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 1. Затем добавьте квадрат 1 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}+2n+1^{2}=7+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$n^{2}+2n+1=7+1$$

Прибавьте 7 к 1.

$$n^{2}+2n+1=8$$

Разложите n^{2}+2n+1 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+1\right)^{2}=8$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+1\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

Упростите.

$$n+1=2\sqrt{2} n+1=-2\sqrt{2}$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$n=2\sqrt{2}-1 n=-2\sqrt{2}-1$$