Решить f(x)=25x^2+100x+99

$$f ( x ) = 25 x ^ { 2 } + 100 x + 99$$

Разложить на множители

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 25x^{2}+ax+bx+99. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=100 ab=25\times 99=2475$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 2475.

$$1,2475 3,825 5,495 9,275 11,225 15,165 25,99 33,75 45,55$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+2475=2476 3+825=828 5+495=500 9+275=284 11+225=236 15+165=180 25+99=124 33+75=108 45+55=100$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 100.

$$a=45 b=55$$

Перепишите 25x^{2}+100x+99 как \left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right).

$$\left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right)$$

Разложите 5x в первом и 11 в второй группе.

$$5x\left(5x+9\right)+11\left(5x+9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x+9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}+100x+99=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Возведите 100 в квадрат.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Умножьте -4 на 25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-100\times 99}}{2\times 25}$$

Умножьте -100 на 99.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-9900}}{2\times 25}$$

Прибавьте 10000 к -9900.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100}}{2\times 25}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-100±10}{2\times 25}$$

Умножьте 2 на 25.

$$x=\frac{-100±10}{50}$$

Решите уравнение x=\frac{-100±10}{50} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -100 к 10.

$$x=-\frac{90}{50}$$

Привести дробь \frac{-90}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-100±10}{50} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из -100.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Привести дробь \frac{-110}{50} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{9}{5} вместо x_{1} и -\frac{11}{5} вместо x_{2}.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{5}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x+\frac{9}{5}\right)\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{9}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Прибавьте \frac{11}{5} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\times \frac{5x+11}{5}$$

Умножьте \frac{5x+9}{5} на \frac{5x+11}{5}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{5\times 5}$$

Умножьте 5 на 5.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{25}$$

Сократите наибольший общий делитель 25 в 25 и 25.

$$25x^{2}+100x+99=\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Вычислить

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$