Решить f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Разложить на множители

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -20, а q делит старший коэффициент 2. Одним из таких корней является -\frac{5}{2}. Разложите многочлен на множители, разделив его на 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Учтите x^{3}+3x^{2}-4. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член -4, а q делит старший коэффициент 1. Одним из таких корней является -2. Разложите многочлен на множители, разделив его на x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Учтите x^{2}+x-2. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-1 b=2$$

Перепишите x^{2}+x-2 как \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Вычислить

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$