Решить f(x)=12x^3-17x^2-20x+25

$$f ( x ) = 12 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } - 20 x + 25$$

Разложить на множители

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 25, а q делит старший коэффициент 12. Одним из таких корней является \frac{5}{3}. Разложите многочлен на множители, разделив его на 3x-5.

$$\left(3x-5\right)\left(4x^{2}+x-5\right)$$

Учтите 4x^{2}+x-5. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 4x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-4 b=5$$

Перепишите 4x^{2}+x-5 как \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

Разложите 4x в первом и 5 в второй группе.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(3x-5\right)\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Вычислить

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$