Решить f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Вычислить

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Действия по решению

Оцените неопределенный интеграл первым.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Так как \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int t^{2}\mathrm{d}t \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Так как \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int t\mathrm{d}t \frac{t^{2}}{2}. Умножьте -1 на \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Определенный интеграл является первообразной выражения, оцененным по верхнему пределу интеграции, за вычетом первообразной, оцененного по нижнему пределу интеграции.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Упростите.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Дифференцировать по x

$$x\left(x-1\right)$$