Решить f(x)=x/x^2+5x+6

$$f ( x ) = \frac { x } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 }$$

Дифференцировать по x

$$\frac{6-x^{2}}{\left(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+5x^{1}+6)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)x^{1-1}-x^{1}\left(2x^{2-1}+5x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Умножьте x^{2}+5x^{1}+6 на x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+5x^{1}x^{0}+6x^{0}-x^{1}\left(2x^{1}+5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Умножьте x^{1} на 2x^{1}+5x^{0}.

$$\frac{x^{2}x^{0}+5x^{1}x^{0}+6x^{0}-\left(x^{1}\times 2x^{1}+x^{1}\times 5x^{0}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{x^{2}+5x^{1}+6x^{0}-\left(2x^{1+1}+5x^{1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Упростите.

$$\frac{x^{2}+5x^{1}+6x^{0}-\left(2x^{2}+5x^{1}\right)}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{-x^{2}+6x^{0}}{\left(x^{2}+5x^{1}+6\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\frac{-x^{2}+6x^{0}}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{-x^{2}+6\times 1}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Для любого члена t, t\times 1=t и 1t=t.

$$\frac{-x^{2}+6}{\left(x^{2}+5x+6\right)^{2}}$$

Вычислить

$$\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}$$