Решить f(t)=2t/1+2t^2

$$f ( t ) = \frac { 2 t } { 1 + 2 t ^ { 2 } }$$

Дифференцировать по t

$$\frac{2\left(1-2t^{2}\right)}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Действия с использованием правила производной для частного

Для двух любых дифференцируемых функций производная частного этих функций равна разности произведения знаменателя и производной числителя и произведения числителя и производной знаменателя, деленной на квадрат знаменателя.

$$\frac{\left(2t^{2}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(2t^{1})-2t^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(2t^{2}+1)}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$\frac{\left(2t^{2}+1\right)\times 2t^{1-1}-2t^{1}\times 2\times 2t^{2-1}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{\left(2t^{2}+1\right)\times 2t^{0}-2t^{1}\times 4t^{1}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Разложите, используя свойство дистрибутивности.

$$\frac{2t^{2}\times 2t^{0}+2t^{0}-2t^{1}\times 4t^{1}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, сложите их показатели.

$$\frac{2\times 2t^{2}+2t^{0}-2\times 4t^{1+1}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Выполните арифметические операции.

$$\frac{4t^{2}+2t^{0}-8t^{2}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Объедините подобные члены.

$$\frac{\left(4-8\right)t^{2}+2t^{0}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Вычтите 8 из 4.

$$\frac{-4t^{2}+2t^{0}}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Вынесите 2 за скобки.

$$\frac{2\left(-2t^{2}+t^{0}\right)}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\frac{2\left(-2t^{2}+1\right)}{\left(2t^{2}+1\right)^{2}}$$

Вычислить

$$\frac{2t}{2t^{2}+1}$$