Решить ex-1/x-2+x-3/x-4=31/3

$$e \frac { x - 1 } { x - 2 } + \frac { x - 3 } { x - 4 } = 3 \frac { 1 } { 3 }$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\approx 3.53591215$$

$$x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\approx -7.195079222$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (2,4), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 3\left(x-4\right)\left(x-2\right), наименьшее общее кратное чисел x-2,x-4,3.

$$e\left(3x-12\right)\left(x-1\right)+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить e на 3x-12, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(3ex-12e\right)\left(x-1\right)+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить 3ex-12e на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить 3x-6 на x-3, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Перемножьте 3 и 3, чтобы получить 9.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(9+1\right)$$

Чтобы вычислить 10, сложите 9 и 1.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\times 10$$

Чтобы умножить x-4 на x-2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x^{2}-6x+8\right)\times 10$$

Чтобы умножить x^{2}-6x+8 на 10, используйте свойство дистрибутивности.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=10x^{2}-60x+80$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18-10x^{2}=-60x+80$$

Объедините 3x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -7x^{2}.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}-15x+18=-60x+80$$

Прибавьте 60x к обеим частям.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}-15x+18+60x=80$$

Объедините -15x и 60x, чтобы получить 45x.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}+45x+18=80$$

Вычтите 80 из обеих частей уравнения.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}+45x+18-80=0$$

Вычтите 80 из 18, чтобы получить -62.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}+45x-62=0$$

Объедините все члены, содержащие x.

$$\left(3e-7\right)x^{2}+\left(-15e+45\right)x+12e-62=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$\left(3e-7\right)x^{2}+\left(45-15e\right)x+12e-62=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3e-7 вместо a, -15e+45 вместо b и 12e-62 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(45-15e\right)±\sqrt{\left(45-15e\right)^{2}-4\left(3e-7\right)\left(12e-62\right)}}{2\left(3e-7\right)}$$

Возведите -15e+45 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(45-15e\right)±\sqrt{225\left(3-e\right)^{2}-4\left(3e-7\right)\left(12e-62\right)}}{2\left(3e-7\right)}$$

Умножьте -4 на 3e-7.

$$x=\frac{-\left(45-15e\right)±\sqrt{225\left(3-e\right)^{2}+\left(28-12e\right)\left(12e-62\right)}}{2\left(3e-7\right)}$$

Умножьте -12e+28 на 12e-62.

$$x=\frac{-\left(45-15e\right)±\sqrt{225\left(3-e\right)^{2}-144e^{2}+1080e-1736}}{2\left(3e-7\right)}$$

Прибавьте 225\left(-e+3\right)^{2} к -144e^{2}-1736+1080e.

$$x=\frac{-\left(45-15e\right)±\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{2\left(3e-7\right)}$$

Умножьте 2 на 3e-7.

$$x=\frac{15e-45±\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{6e-14}$$

Решите уравнение x=\frac{15e-45±\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{6e-14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15e-45 к \sqrt{81e^{2}+289-270e}.

$$x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{6e-14}$$

Разделите 15e-45+\sqrt{81e^{2}+289-270e} на 6e-14.

$$x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}$$

Решите уравнение x=\frac{15e-45±\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{6e-14} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{81e^{2}+289-270e} из 15e-45.

$$x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{6e-14}$$

Разделите 15e-45-\sqrt{81e^{2}+289-270e} на 6e-14.

$$x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)} x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}$$

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (2,4).

$$x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\text{, }x\neq 2\text{ and }x\neq 4 x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\text{, }x\neq 2\text{ and }x\neq 4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (2,4), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 3\left(x-4\right)\left(x-2\right), наименьшее общее кратное чисел x-2,x-4,3.

$$e\left(3x-12\right)\left(x-1\right)+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить e на 3x-12, используйте свойство дистрибутивности.

$$\left(3ex-12e\right)\left(x-1\right)+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить 3ex-12e на x-1, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+\left(3x-6\right)\left(x-3\right)=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Чтобы умножить 3x-6 на x-3, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(3\times 3+1\right)$$

Перемножьте 3 и 3, чтобы получить 9.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(9+1\right)$$

Чтобы вычислить 10, сложите 9 и 1.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\times 10$$

Чтобы умножить x-4 на x-2, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=\left(x^{2}-6x+8\right)\times 10$$

Чтобы умножить x^{2}-6x+8 на 10, используйте свойство дистрибутивности.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18=10x^{2}-60x+80$$

Вычтите 10x^{2} из обеих частей уравнения.

$$3ex^{2}-15xe+12e+3x^{2}-15x+18-10x^{2}=-60x+80$$

Объедините 3x^{2} и -10x^{2}, чтобы получить -7x^{2}.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}-15x+18=-60x+80$$

Прибавьте 60x к обеим частям.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}-15x+18+60x=80$$

Объедините -15x и 60x, чтобы получить 45x.

$$3ex^{2}-15xe+12e-7x^{2}+45x+18=80$$

Вычтите 12e из обеих частей уравнения.

$$3ex^{2}-15xe-7x^{2}+45x+18=80-12e$$

Вычтите 18 из обеих частей уравнения.

$$3ex^{2}-15xe-7x^{2}+45x=80-12e-18$$

Вычтите 18 из 80, чтобы получить 62.

$$3ex^{2}-15xe-7x^{2}+45x=62-12e$$

Объедините все члены, содержащие x.

$$\left(3e-7\right)x^{2}+\left(-15e+45\right)x=62-12e$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$\left(3e-7\right)x^{2}+\left(45-15e\right)x=62-12e$$

Разделите обе части на 3e-7.

$$\frac{\left(3e-7\right)x^{2}+\left(45-15e\right)x}{3e-7}=\frac{62-12e}{3e-7}$$

Деление на 3e-7 аннулирует операцию умножения на 3e-7.

$$x^{2}+\frac{45-15e}{3e-7}x=\frac{62-12e}{3e-7}$$

Разделите -15e+45 на 3e-7.

$$x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x=\frac{62-12e}{3e-7}$$

Разделите 62-12e на 3e-7.

$$x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x=\frac{2\left(31-6e\right)}{3e-7}$$

Разделите \frac{15\left(-e+3\right)}{3e-7}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{15\left(-e+3\right)}{2\left(3e-7\right)}. Затем добавьте квадрат \frac{15\left(-e+3\right)}{2\left(3e-7\right)} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x+\left(\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}\right)^{2}=\frac{2\left(31-6e\right)}{3e-7}+\left(\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15\left(-e+3\right)}{2\left(3e-7\right)} в квадрат.

$$x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x+\frac{225\left(3-e\right)^{2}}{4\left(3e-7\right)^{2}}=\frac{2\left(31-6e\right)}{3e-7}+\frac{225\left(3-e\right)^{2}}{4\left(3e-7\right)^{2}}$$

Прибавьте \frac{2\left(31-6e\right)}{3e-7} к \frac{225\left(-e+3\right)^{2}}{4\left(3e-7\right)^{2}}.

$$x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x+\frac{225\left(3-e\right)^{2}}{4\left(3e-7\right)^{2}}=\frac{81e^{2}+289-270e}{4\left(3e-7\right)^{2}}$$

Разложите x^{2}+\frac{15\left(3-e\right)}{3e-7}x+\frac{225\left(3-e\right)^{2}}{4\left(3e-7\right)^{2}} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}\right)^{2}=\frac{81e^{2}+289-270e}{4\left(3e-7\right)^{2}}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81e^{2}+289-270e}{4\left(3e-7\right)^{2}}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{2\left(3e-7\right)} x+\frac{15\left(3-e\right)}{2\left(3e-7\right)}=-\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}}{2\left(3e-7\right)}$$

Вычтите \frac{15\left(-e+3\right)}{2\left(3e-7\right)} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)} x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}$$

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (2,4).

$$x=\frac{-\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\text{, }x\neq 2\text{ and }x\neq 4 x=\frac{\sqrt{81e^{2}+289-270e}+15e-45}{2\left(3e-7\right)}\text{, }x\neq 2\text{ and }x\neq 4$$