Решить ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

Найдите x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$ax+3y=15$$

Вычтите 3y из обеих частей уравнения.

$$ax=-3y+15$$

Разделите обе части на a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Умножьте \frac{1}{a} на -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Подставьте \frac{3\left(5-y\right)}{a} вместо x в другом уравнении 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Умножьте 3 на \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Прибавьте -\frac{9y}{a} к by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Вычтите \frac{45}{a} из обеих частей уравнения.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Разделите обе части на b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Подставьте \frac{4da-45}{ba-9} вместо y в x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Умножьте -\frac{3}{a} на \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Прибавьте \frac{15}{a} к -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Система решена.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Чтобы сделать ax и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Упростите.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Вычтите 3ax+aby=4ad из 3ax+9y=45 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Прибавьте 3ax к -3ax. Члены 3ax и -3ax сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Прибавьте 9y к -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Разделите обе части на 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Подставьте \frac{45-4ad}{9-ab} вместо y в 3x+by=4d. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Умножьте b на \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Вычтите \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} из обеих частей уравнения.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Система решена.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$