Решить a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Решение для a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 1, b на -68 и c на 225.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Выполните арифметические операции.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Решение a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Для какого продукта ≤0, a-\left(7\sqrt{19}+34\right), и a-\left(34-7\sqrt{19}\right) должен быть ≥0, а другой — ≤0. Рассмотрите случай, когда a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 и a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Это неверно для любого a.

$$a\in \emptyset$$

Рассмотрите случай, когда a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 и a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$