Решить {l}{x+2y=8}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Найдите x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Выберите один из уравнений и решите его для x, изолируя x в левой части знака равенства.

$$x+2y=8$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$x=-2y+8$$

Подставьте -2y+8 вместо x в другом уравнении x-2y=2.

$$-2y+8-2y=2$$

Прибавьте -2y к -2y.

$$-4y+8=2$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$-4y=-6$$

Разделите обе части на -4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Подставьте \frac{3}{2} вместо y в x=-2y+8. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+8$$

Умножьте -2 на \frac{3}{2}.

$$x=-3+8$$

Прибавьте 8 к -3.

$$x=5$$

Система решена.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{2}{-2-2}\\-\frac{1}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$x+2y=8,x-2y=2$$

Вычтите x-2y=2 из x+2y=8 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$x-x+2y+2y=8-2$$

Прибавьте x к -x. Члены x и -x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$2y+2y=8-2$$

Прибавьте 2y к 2y.

$$4y=8-2$$

Прибавьте 8 к -2.

$$4y=6$$

Разделите обе части на 4.

$$y=\frac{3}{2}$$

Подставьте \frac{3}{2} вместо y в x-2y=2. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x-2\times \frac{3}{2}=2$$

Умножьте -2 на \frac{3}{2}.

$$x-3=2$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=5$$

Система решена.

$$x=5,y=\frac{3}{2}$$