Решить 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Разложить на множители

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 90m^{2}+am+bm-45. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -4050 продукта.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -137.

$$a=-162 b=25$$

Перепишите 90m^{2}-137m-45 как \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Вынесите за скобки 18m в первой и 5 во второй группе.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5m-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Возведите -137 в квадрат.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Умножьте -4 на 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Умножьте -360 на -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Прибавьте 18769 к 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Извлеките квадратный корень из 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Число, противоположное -137, равно 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Умножьте 2 на 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Решите уравнение m=\frac{137±187}{180} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 137 к 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Привести дробь \frac{324}{180} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Решите уравнение m=\frac{137±187}{180} при условии, что ± — минус. Вычтите 187 из 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Привести дробь \frac{-50}{180} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{9}{5} вместо x_{1} и -\frac{5}{18} вместо x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Вычтите \frac{9}{5} из m. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Прибавьте \frac{5}{18} к m, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Умножьте \frac{5m-9}{5} на \frac{18m+5}{18}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Умножьте 5 на 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Сократите наибольший общий делитель 90 в 90 и 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Вычислить

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$