Решить 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Разложить на множители

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 9y^{2}+ay+by+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -12.

$$a=-6 b=-6$$

Перепишите 9y^{2}-12y+4 как \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Разложите 3y в первом и -2 в второй группе.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3y-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Найдите квадратный корень последнего члена 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Прибавьте 144 к -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{2}{3} вместо x_{1} и \frac{2}{3} вместо x_{2}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Вычтите \frac{2}{3} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Вычтите \frac{2}{3} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Умножьте \frac{3y-2}{3} на \frac{3y-2}{3}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Умножьте 3 на 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Сократите наибольший общий делитель 9 в 9 и 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Вычислить

$$\left(3y-2\right)^{2}$$