Решить 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Найдите y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -12 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Прибавьте 144 к -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Решите уравнение y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Разделите 12+6\sqrt{2} на 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{2} из 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Разделите 12-6\sqrt{2} на 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Привести дробь \frac{-12}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Деление -\frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Прибавьте -\frac{2}{9} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Коэффициент y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Упростите.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$