Решить 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 65 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx-65. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -24.

$$a=-39 b=15$$

Перепишите 9x^{2}-24x-65 как \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Разложите 3x в первом и 5 в второй группе.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-13, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-13=0 и 3x+5=0у.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}-24x=65$$

Вычтите 65 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Если из 65 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -24 вместо b и -65 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -24 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Прибавьте 576 к 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

Число, противоположное -24, равно 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{24±54}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 24 к 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Привести дробь \frac{78}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{24±54}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 54 из 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Привести дробь \frac{-30}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Привести дробь \frac{-24}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Деление -\frac{8}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{4}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{4}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{4}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Прибавьте \frac{65}{9} к \frac{16}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Коэффициент x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Упростите.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Прибавьте \frac{4}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$