Решить 9x^2-14x-14=0

$$9 x ^ { 2 } - 14 x - 14 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{7} + 7}{9} \approx 2.247639617$$

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}\approx -0.692084062$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -14 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 9\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-36\left(-14\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+504}}{2\times 9}$$

Прибавьте 196 к 504.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{700}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 700.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 10\sqrt{7}.

$$x=\frac{10\sqrt{7}+14}{18}$$

Разделите 14+10\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9}$$

Решите уравнение x=\frac{14±10\sqrt{7}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{7} из 14.

$$x=\frac{14-10\sqrt{7}}{18}$$

Разделите 14-10\sqrt{7} на 18.

$$x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-14x-14=0$$

Прибавьте 14 к обеим частям уравнения.

$$9x^{2}-14x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Если из -14 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}-14x=-\left(-14\right)$$

Вычтите -14 из 0.

$$9x^{2}-14x=14$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-14x}{9}=\frac{14}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x=\frac{14}{9}$$

Разделите -\frac{14}{9}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{7}{9}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{9} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{14}{9}+\left(-\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{14}{9}+\frac{49}{81}$$

Прибавьте \frac{14}{9} к \frac{49}{81}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{175}{81}$$

Разложите x^{2}-\frac{14}{9}x+\frac{49}{81} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{175}{81}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{175}{81}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{9}=\frac{5\sqrt{7}}{9} x-\frac{7}{9}=-\frac{5\sqrt{7}}{9}$$

Прибавьте \frac{7}{9} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{7}+7}{9} x=\frac{7-5\sqrt{7}}{9}$$