Решить 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -12 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Прибавьте 144 к 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Разделите 12+12\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 12\sqrt{2} из 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Разделите 12-12\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Если из -4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Вычтите -4 из 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Привести дробь \frac{-12}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Деление -\frac{4}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{2}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Прибавьте \frac{4}{9} к \frac{4}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Прибавьте \frac{2}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$