Решить 9x^2+9x=1

$$9 x ^ { 2 } + 9 x = 1$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,100925213$$

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}\approx -1,100925213$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+9x=1$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+9x-1=1-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+9x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 9 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-1\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+36}}{2\times 9}$$

Прибавьте 81 к 36.

$$x=\frac{-9±\sqrt{117}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 117.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -9 к 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}-9}{18}$$

Разделите -9+3\sqrt{13} на 18.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-9±3\sqrt{13}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{13} из -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{13}-9}{18}$$

Разделите -9-3\sqrt{13} на 18.

$$x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+9x=1$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{1}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{1}{9}$$

Разделите 9 на 9.

$$x^{2}+x=\frac{1}{9}$$

Деление 1, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{9} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}$$

Коэффициент x^{2}+x+\frac{1}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{13}}{6}-\frac{1}{2}$$