Решить 9x^2+6x+9=0

$$9 x ^ { 2 } + 6 x + 9 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,942809042i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,942809042i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 6 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\times 9}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\times 9}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-324}}{2\times 9}$$

Прибавьте 36 к -324.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-288}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из -288.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 12i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-6+12\sqrt{2}i}{18}$$

Разделите -6+12i\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±12\sqrt{2}i}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 12i\sqrt{2} из -6.

$$x=\frac{-12\sqrt{2}i-6}{18}$$

Разделите -6-12i\sqrt{2} на 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+6x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+6x=-9$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{9}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{9}{9}$$

Привести дробь \frac{6}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{9}{9}$$

Разделите -9 на 9.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-1$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-1+\frac{1}{9}$$

Прибавьте -1 к \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{8}{9}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{9}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}i}{3}$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-1+2\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{2}i-1}{3}$$