Решить 9t^2-19t=24

$$9 t ^ { 2 } - 19 t = 24$$

Найдите t

$$t=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$t=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$9t^{2}-19t-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9t^{2}+at+bt-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -19.

$$a=-27 b=8$$

Перепишите 9t^{2}-19t-24 как \left(9t^{2}-27t\right)+\left(8t-24\right).

$$\left(9t^{2}-27t\right)+\left(8t-24\right)$$

Разложите 9t в первом и 8 в второй группе.

$$9t\left(t-3\right)+8\left(t-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член t-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(t-3\right)\left(9t+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите t-3=0 и 9t+8=0у.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9t^{2}-19t=24$$

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$9t^{2}-19t-24=24-24$$

Если из 24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9t^{2}-19t-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -19 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Возведите -19 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -24.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Прибавьте 361 к 864.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 1225.

$$t=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

Число, противоположное -19, равно 19.

$$t=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$t=\frac{19±35}{18}$$

Решите уравнение t=\frac{19±35}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 19 к 35.

$$t=\frac{54}{18}$$

Разделите 54 на 18.

$$t=3$$

Решите уравнение t=\frac{19±35}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 35 из 19.

$$t=-\frac{16}{18}$$

Привести дробь \frac{-16}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$t=-\frac{8}{9}$$

Уравнение решено.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}-19t=24$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9t^{2}-19t}{9}=\frac{24}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t=\frac{24}{9}$$

Привести дробь \frac{24}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t=\frac{8}{3}$$

Деление -\frac{19}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{19}{18}. Затем добавьте квадрат -\frac{19}{18} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{19}{18} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Прибавьте \frac{8}{3} к \frac{361}{324}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{19}{9}t+\frac{361}{324}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Упростите.

$$t-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} t-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Прибавьте \frac{19}{18} к обеим частям уравнения.

$$t=3 t=-\frac{8}{9}$$