Решить 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Найдите n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 3n^{2} из обеих частей уравнения.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Объедините 9n^{2} и -3n^{2}, чтобы получить 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6n^{2}+an+bn+20. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Поскольку ab положительное, a и b имеют одинаковый знак. Так как a+b отрицательный, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары, содержащие 120 продукта.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -23.

$$a=-15 b=-8$$

Перепишите 6n^{2}-23n+20 как \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Вынесите за скобки 3n в первой и -4 во второй группе.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2n-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2n-5=0 и 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 3n^{2} из обеих частей уравнения.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Объедините 9n^{2} и -3n^{2}, чтобы получить 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -23 вместо b и 20 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Возведите -23 в квадрат.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Прибавьте 529 к -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Число, противоположное -23, равно 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Решите уравнение n=\frac{23±7}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 23 к 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Привести дробь \frac{30}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение n=\frac{23±7}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Привести дробь \frac{16}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 3n^{2} из обеих частей уравнения.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Объедините 9n^{2} и -3n^{2}, чтобы получить 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Вычтите 20 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Привести дробь \frac{-20}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Разделите -\frac{23}{6}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{23}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{23}{12} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{23}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Прибавьте -\frac{10}{3} к \frac{529}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Разложите n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Упростите.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Прибавьте \frac{23}{12} к обеим частям уравнения.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$