Решить 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Найдите x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx+25. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -30.

$$a=-15 b=-15$$

Перепишите 9x^{2}-30x+25 как \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Разложите 3x в первом и -5 в второй группе.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -30 вместо b и 25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Возведите -30 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Прибавьте 900 к -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Число, противоположное -30, равно 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Привести дробь \frac{30}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Привести дробь \frac{-30}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Деление -\frac{10}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Прибавьте -\frac{25}{9} к \frac{25}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Прибавьте \frac{5}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{5}{3}$$