Решить 9x^2+6x+1=0

$$9 { x }^{ 2 } +6x+1=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 9.

$$1,9 3,3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+9=10 3+3=6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=3 b=3$$

Перепишите 9x^{2}+6x+1 как \left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(9x^{2}+3x\right)+\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки 3x в 9x^{2}+3x.

$$3x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3x+1\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 3x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 6 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Прибавьте 36 к -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{6}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=-\frac{6}{18}$$

Привести дробь \frac{-6}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+6x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+6x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+6x=-1$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Привести дробь \frac{6}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{9} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{3}=0 x+\frac{1}{3}=0$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=-\frac{1}{3}$$