Решить 9x^2+42x+49=0

$$9 { x }^{ 2 } +42x+49=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx+49. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 42.

$$a=21 b=21$$

Перепишите 9x^{2}+42x+49 как \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

Разложите 3x в первом и 7 в второй группе.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x+7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 42 вместо b и 49 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Возведите 42 в квадрат.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Прибавьте 1764 к -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Привести дробь \frac{-42}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Вычтите 49 из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Если из 49 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Привести дробь \frac{42}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

Деление \frac{14}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Прибавьте -\frac{49}{9} к \frac{49}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

Коэффициент x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

Вычтите \frac{7}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=-\frac{7}{3}$$