Решить 9x^2+150x-119=0

$$9 { x }^{ 2 } +150x-119=0$$

Найдите x

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}\approx 0,758787798$$

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}\approx -17,425454465$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+150x-119=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 150 вместо b и -119 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-150±\sqrt{150^{2}-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 150 в квадрат.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-4\times 9\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500-36\left(-119\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -119.

$$x=\frac{-150±\sqrt{22500+4284}}{2\times 9}$$

Прибавьте 22500 к 4284.

$$x=\frac{-150±\sqrt{26784}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 26784.

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -150 к 12\sqrt{186}.

$$x=\frac{12\sqrt{186}-150}{18}$$

Разделите -150+12\sqrt{186} на 18.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-150±12\sqrt{186}}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 12\sqrt{186} из -150.

$$x=\frac{-12\sqrt{186}-150}{18}$$

Разделите -150-12\sqrt{186} на 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+150x-119=0$$

Прибавьте 119 к обеим частям уравнения.

$$9x^{2}+150x-119-\left(-119\right)=-\left(-119\right)$$

Если из -119 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+150x=-\left(-119\right)$$

Вычтите -119 из 0.

$$9x^{2}+150x=119$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+150x}{9}=\frac{119}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{150}{9}x=\frac{119}{9}$$

Привести дробь \frac{150}{9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x=\frac{119}{9}$$

Деление \frac{50}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{25}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{25}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{119}{9}+\left(\frac{25}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{25}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{119+625}{9}$$

Прибавьте \frac{119}{9} к \frac{625}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}=\frac{248}{3}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{50}{3}x+\frac{625}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}=\frac{248}{3}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{248}{3}}$$

Упростите.

$$x+\frac{25}{3}=\frac{2\sqrt{186}}{3} x+\frac{25}{3}=-\frac{2\sqrt{186}}{3}$$

Вычтите \frac{25}{3} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2\sqrt{186}-25}{3} x=\frac{-2\sqrt{186}-25}{3}$$