Решить 9x^2+14x-8=0

$$9 { x }^{ 2 } +14x-8=0$$

Найдите x

$$x=-2$$

$$x=\frac{4}{9}\approx 0,444444444$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 9x^{2}+ax+bx-8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-4 b=18$$

Перепишите 9x^{2}+14x-8 как \left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right).

$$\left(9x^{2}-4x\right)+\left(18x-8\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(9x-4\right)+2\left(9x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 9x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(9x-4\right)\left(x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 9x-4=0 и x+2=0у.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, 14 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Возведите 14 в квадрат.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на -8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 9}$$

Прибавьте 196 к 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{-14±22}{18}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±22}{18} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -14 к 22.

$$x=\frac{8}{18}$$

Привести дробь \frac{8}{18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{9}$$

Решите уравнение x=\frac{-14±22}{18} при условии, что ± — минус. Вычтите 22 из -14.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Разделите -36 на 18.

$$x=-2$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+14x-8=0$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$9x^{2}+14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$9x^{2}+14x=-\left(-8\right)$$

Вычтите -8 из 0.

$$9x^{2}+14x=8$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}+14x}{9}=\frac{8}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x=\frac{8}{9}$$

Деление \frac{14}{9}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{9}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{9} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{7}{9}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{9} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{8}{9}+\frac{49}{81}$$

Прибавьте \frac{8}{9} к \frac{49}{81}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}=\frac{121}{81}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{14}{9}x+\frac{49}{81}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}=\frac{121}{81}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{81}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{9}=\frac{11}{9} x+\frac{7}{9}=-\frac{11}{9}$$

Вычтите \frac{7}{9} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{9} x=-2$$