Решить 89x^2-6x+40=0

$$89 x ^ { 2 } - 6 x + 40 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}\approx 0,033707865+0,669553569i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}\approx 0,033707865-0,669553569i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 89 вместо a, -6 вместо b и 40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 89\times 40}}{2\times 89}$$

Умножьте -4 на 89.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-356\times 40}}{2\times 89}$$

Умножьте -356 на 40.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-14240}}{2\times 89}$$

Прибавьте 36 к -14240.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-14204}}{2\times 89}$$

Извлеките квадратный корень из -14204.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{2\times 89}$$

Умножьте 2 на 89.

$$x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178}$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 2i\sqrt{3551}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{3551}i}{178}$$

Разделите 6+2i\sqrt{3551} на 178.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89}$$

Решите уравнение x=\frac{6±2\sqrt{3551}i}{178} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{3551} из 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3551}i+6}{178}$$

Разделите 6-2i\sqrt{3551} на 178.

$$x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$89x^{2}-6x+40=0$$

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$89x^{2}-6x+40-40=-40$$

Если из 40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$89x^{2}-6x=-40$$

Разделите обе части на 89.

$$\frac{89x^{2}-6x}{89}=-\frac{40}{89}$$

Деление на 89 аннулирует операцию умножения на 89.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x=-\frac{40}{89}$$

Деление -\frac{6}{89}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{89}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{89} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{40}{89}+\left(-\frac{3}{89}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{89} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{40}{89}+\frac{9}{7921}$$

Прибавьте -\frac{40}{89} к \frac{9}{7921}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}=-\frac{3551}{7921}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{6}{89}x+\frac{9}{7921}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}=-\frac{3551}{7921}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{89}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3551}{7921}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{89}=\frac{\sqrt{3551}i}{89} x-\frac{3}{89}=-\frac{\sqrt{3551}i}{89}$$

Прибавьте \frac{3}{89} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3+\sqrt{3551}i}{89} x=\frac{-\sqrt{3551}i+3}{89}$$