Решить 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

Разложить на множители

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 81x^{2}+ax+bx+100. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 180.

$$a=90 b=90$$

Перепишите 81x^{2}+180x+100 как \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

Разложите 9x в первом и 10 в второй группе.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

Вынесите за скобки общий член 9x+10, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Найдите квадратный корень последнего члена 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Возведите 180 в квадрат.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

Умножьте -4 на 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

Умножьте -324 на 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Прибавьте 32400 к -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

Умножьте 2 на 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{10}{9} вместо x_{1} и -\frac{10}{9} вместо x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Прибавьте \frac{10}{9} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Прибавьте \frac{10}{9} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

Умножьте \frac{9x+10}{9} на \frac{9x+10}{9}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

Умножьте 9 на 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

Сократите наибольший общий делитель 81 в 81 и 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Вычислить

$$\left(9x+10\right)^{2}$$