Решить 81a^2-18a+1

$$81 a ^ { 2 } - 18 a + 1$$

Разложить на множители

$$\left(9a-1\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 81a^{2}+pa+qa+1. Чтобы найти p и q, настройте систему на ее устранение.

$$p+q=-18 pq=81\times 1=81$$

Так как pq является положительным, p и q имеют один и тот же знак. Так как p+q является отрицательным, p и q являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 81.

$$-1,-81 -3,-27 -9,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-81=-82 -3-27=-30 -9-9=-18$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -18.

$$p=-9 q=-9$$

Перепишите 81a^{2}-18a+1 как \left(81a^{2}-9a\right)+\left(-9a+1\right).

$$\left(81a^{2}-9a\right)+\left(-9a+1\right)$$

Разложите 9a в первом и -1 в второй группе.

$$9a\left(9a-1\right)-\left(9a-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 9a-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(9a-1\right)\left(9a-1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(9a-1\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(81a^{2}-18a+1)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(81,-18,1)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 81a^{2}.

$$\sqrt{81a^{2}}=9a$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(9a-1\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$81a^{2}-18a+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$a=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 81}}{2\times 81}$$

Возведите -18 в квадрат.

$$a=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 81}}{2\times 81}$$

Умножьте -4 на 81.

$$a=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-324}}{2\times 81}$$

Прибавьте 324 к -324.

$$a=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$a=\frac{-\left(-18\right)±0}{2\times 81}$$

Число, противоположное -18, равно 18.

$$a=\frac{18±0}{2\times 81}$$

Умножьте 2 на 81.

$$a=\frac{18±0}{162}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{1}{9} вместо x_{1} и \frac{1}{9} вместо x_{2}.

$$81a^{2}-18a+1=81\left(a-\frac{1}{9}\right)\left(a-\frac{1}{9}\right)$$

Вычтите \frac{1}{9} из a. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81a^{2}-18a+1=81\times \frac{9a-1}{9}\left(a-\frac{1}{9}\right)$$

Вычтите \frac{1}{9} из a. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81a^{2}-18a+1=81\times \frac{9a-1}{9}\times \frac{9a-1}{9}$$

Умножьте \frac{9a-1}{9} на \frac{9a-1}{9}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81a^{2}-18a+1=81\times \frac{\left(9a-1\right)\left(9a-1\right)}{9\times 9}$$

Умножьте 9 на 9.

$$81a^{2}-18a+1=81\times \frac{\left(9a-1\right)\left(9a-1\right)}{81}$$

Сократите наибольший общий делитель 81 в 81 и 81.

$$81a^{2}-18a+1=\left(9a-1\right)\left(9a-1\right)$$

Вычислить

$$\left(9a-1\right)^{2}$$