Решить 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

Разложить на множители

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 81x^{2}+ax+bx+25. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 90.

$$a=45 b=45$$

Перепишите 81x^{2}+90x+25 как \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

Разложите 9x в первом и 5 в второй группе.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 9x+5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Найдите квадратный корень последнего члена 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Возведите 90 в квадрат.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Умножьте -4 на 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Умножьте -324 на 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Прибавьте 8100 к -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

Умножьте 2 на 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{5}{9} вместо x_{1} и -\frac{5}{9} вместо x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Прибавьте \frac{5}{9} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Прибавьте \frac{5}{9} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

Умножьте \frac{9x+5}{9} на \frac{9x+5}{9}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

Умножьте 9 на 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

Сократите наибольший общий делитель 81 в 81 и 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Вычислить

$$\left(9x+5\right)^{2}$$