Решить 8x-x^2=14

$$8 x - x ^ { 2 } = 14$$

Найдите x

$$x=\sqrt{2}+4\approx 5,414213562$$

$$x=4-\sqrt{2}\approx 2,585786438$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+8x=14$$

Вычтите 14 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+8x-14=14-14$$

Если из 14 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+8x-14=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 8 вместо b и -14 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\left(-14\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -14.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-56}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 64 к -56.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 8.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Разделите 2\sqrt{2}-8 на -2.

$$x=4-\sqrt{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{2}}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{2} из -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-8}{-2}$$

Разделите -8-2\sqrt{2} на -2.

$$x=\sqrt{2}+4$$

Уравнение решено.

$$x=4-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x=14$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=\frac{14}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=\frac{14}{-1}$$

Разделите 8 на -1.

$$x^{2}-8x=\frac{14}{-1}$$

Разделите 14 на -1.

$$x^{2}-8x=-14$$

Деление -8, коэффициент x термина, 2 для получения -4. Затем добавьте квадрат -4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-14+\left(-4\right)^{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x^{2}-8x+16=-14+16$$

Прибавьте -14 к 16.

$$x^{2}-8x+16=2$$

Коэффициент x^{2}-8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=2$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Упростите.

$$x-4=\sqrt{2} x-4=-\sqrt{2}$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=\sqrt{2}+4 x=4-\sqrt{2}$$